O principal objetivo da Jornadas de Pesquisa em Matemática é trazer uma experiência genunína de pesquisa, com todas suas nuances, expectativas, descobertas e também possíveis frustrações, que nos tornam cientistas. Alguns relatos de participantes anteriores podem ser encontrados nesta reportagem elaborada com participantes da edição 2023.
Além do desenvolvimento científico, alguns dos projetos tem resultado também em material de divulgação científica para escolas da rede pública de ensino fundamental e médio. Um exemplo é relatado nesta outra reportagem
A edição 2024 contou com dez estudantes de vários estudantes, incluindo de outros países, que trabalharam em três projetos. Todos projetos resultaram em resultados ou algoritmos originais. Os resultados tem sido apresentados em eventos científicos e estão em preparação para publicação científica.
Os projetos realizados estão listados abaixo. Maiores detalhes sobre a edição 2024 podem ser encontrados na página do evento.
Supervisão: Antonio Castelo Filho (ICMC - USP) e Lucas Martinelli Reia (ICMC - USP)
Participantes: Arthur Garcia Tonus (ICMC - USP), João Víctor de Melo (UFMG), Paulo de Almeida (Universidad de Buenos Aires, Argentina)
Relatório final aqui.
Curvas de nível e superfícies de nível são vistas em todos cursos de cálculo diferencial e integral. Desenhar, digamos na lousa, por vezes é tarefa simples, e fica mais divertida ainda com auxílio computacional. Quando falamos de curvas ou superfícies pensamos imediatamente em lugares geométricos de dimensão 1 e 2 imersos em espaços de dimensão 2 ou 3. E ao desenhá-las utilizando o computador por trás já atuam métodos numéricos além de códigos para plotar no computador.
Mas e desenhar superfícies de dimensão 4? Mais ainda, imagine que pretendemos aumentar a dimensão, isto é, encontrar o conjunto \(\cal{M} = F^{-1}(0)\) para uma aplicação \(F: \R^n \rightarrow \R^k\). No caso, quando \(n = 2\) e \(k = 1\) temos curvas de nível, quando \(n = 3\) e \(k = 1\) temos superfícies de nível. E como calculamos tais superfícies, ou aproximações para elas, com \(n\) e \(k\) elevados?
Alguns algoritmos conseguem produzir aproximações para tais superfícies com um custo computacional elevado em termos de tempo de processamento e de memória. O objetivo deste projeto é gerar aproximações de superfícies de alta dimensão definidas implicitamente, utilizando técnicas de cálculo, combinatória e análise numérica, evitando o armazenamento exponencial de memória, gerando um código para calcular estas aproximações.
Supervisão: Ana Paula Chaves (UFG) e Roberto Alvarenga (ICMC - USP)
Participantes: Marcos Elias Sosa Garcete (UNILA), Maria Eduarda Ramos Pereira (UFMG), Matheus Silva (ICMC - USP), Paulo de Almeida (Universidad de Buenos Aires, Argentina)
Relatório final aqui.
Apesar de já conhecida na antiguidade por gregos e indianos, a sequência de Fibonacci é atribuída ao matemático italiano Leonardo de Pisa (ou Leonardo Fibonacci), quem a descreveu em 1202 no livro Liber Abaci. A sequência é totalmente determinada por considerar os dois primeiros termos por \(0\) e \(1\) e os subsequentes como a soma dos dois anteriores. Assim, se \((F_n)_n\) é a sequência de Fibonacci, então \(F_0 =0, F_1=1\) e \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.\)
Na natureza, os números da sequência de Fibonacci descrevem vários fenômenos interessantes. Por exemplo, o crescimento idealista da população de coelhos, a afinação de instrumentos musicais e proporções harmônicas nas artes visuais e arquitetura. Como todo objeto bem estudado na matemática, esta sequência admite diversas generalizações. Para as quais, várias equações Diofantinas (inclusive exponenciais) já foram estudadas e resolvidas, culminando inclusive com a resolução do Décimo Problema de Hilbert por Matiyasevich.
Neste projeto investigaremos algumas equações Diofantinas que tem como solução os números de Fibonacci e suas generalizações. Em particular, pretendemos explorar várias questões relacionadas à comportamento assintótico de tais soluções, tanto de um ponto de vista teórico/algébrico, como também sob uma ótica computacional.
Supervisão: Milton Jara (IMPA), Rodrigo Marinho de Souza (UFRGS) e Susana Frómeta Fernandez (UFRGS)
Participantes: João Victor Alcantara Pimenta (IFSC - USP), Luiz Felipe Silva Marques (IME - USP), Raphael Alves Duarte (FFCLRP - USP), Sabrina Gomes (UFMG)
Relatório final aqui. Artigo resultante: Simulating Simple Random Walks With a Deck of Cards (ArXiv 2410.00831)
Consideremos o seguinte problema. Um professor de matemática quer fazer uma “simulação real” do passeio aleatório simples no quadro. Uma possibilidade é lançar uma moeda ao ar e usar o resultado para simular os passos do passeio aleatório. Na prática, este procedimento não é rápido o suficiente para ser praticado na sala de aula. Uma ideia diferente, é usar um baralho de cartas. De acordo com um famoso teorema de Beyer-Diaconis, sete embaralhadas são suficientes para embaralhar o baralho de 52 cartas. No baralho bem embaralhado, a probabilidade da primeira carta ser de cor vermelha é igual a 1/2. A cor da segunda carta é “quase” independente da cor da primeira carta, pelo que as cores das sucessivas cartas podem ser usadas como lançamentos de moeda, se a precisão desejada na nossa “simulação real” não é muito grande. A pergunta natural é: quantas cartas do baralho podemos usar para simular lançamentos de moeda com uma precisão dada? Será que esta “simulação real” é rápida o suficiente para ser usada na sala de aula?
O objetivo será formalizar de maneira matematicamente rigorosa estas questões, e em particular estudar os conceitos de “precisão” e “bem embaralhado”, assim como investigar possíveis generalizações, como por exemplo “e se também usamos o naipe e/ou o número?”
Na edição 2023, contamos com a participação de oito estudantes, que trabalharam em dois projetos. Ambos projetos obtiveram resultados originais que se encontram submetidos para publicação em revistas científicas, que podem ser encontrados no ArXiv, clicando nos títulos abaixo. Também, os resultados obtidos foram apresentados em vários eventos científicos.
Os projetos realizados estão listados abaixo. Maiores detalhes sobre a edição 2023 podem ser encontrados na página do evento.
Supervisão: Tertuliano Franco (UFBA), Guilherme Silva (ICMC - USP) e Daniel Ungaretti (UFRJ)
Participantes: João Pedro Cardoso de Paula (UNICAMP), João Victor Alcântara Pimenta (USP São Carlos), Lael Viana Lima (UNICAMP), Luis Guilherme Coelho Bueno (USP Ribeirão Preto)
Relatório final aqui
Artigo resultante: A Central Limit Theorem for intransitive dice (ArXiv 2310.17083)
Imagine que sejam disponíveis três dados (de seis faces, digamos) A, B e C, os quais não são idênticos, e podendo haver números repetidos em faces de um mesmo dados (ou dados diferentes). Dois jogadores participam do jogo, e cada um escolhe um dado. Em seguida, lançam os dados simultaneamente; se houver empate, os dados são lançados novamente, até que haja um vencedor. A questão da não-transitividade é: é possível criar dados A, B e C tais que A seja mais vantajoso do que B, B seja mais vantajoso do que C e C seja mais vantajoso do que A? A resposta, curiosamente, é sim! Existem tais dados, e exemplos em dados com poucas faces podem ser construídos de maneira simples. Abordaremos neste projeto diversas perguntas relacionadas, para as quais não se sabe resposta, como por exemplo: limitantes e maximização de probabilidades de sucesso em cada um dos pares de dados escolhidos, construção de dados em outros poliedros (já existem algumas respostas afirmativas neste contexto), limitantes para sequências de dados não transitivos de tamanho arbitrário, aspectos computacionais via Python, Leis dos Grandes Números para obtenção de dados não-transitivos (construindo dados via escolhas aleatórias de números para suas faces), entre outros.
Supervisão: Ali Tahzibi (ICMC - USP), Graccyela Salcedo (ICMC - USP) e Yuri Lima (UFC)
Participantes: Marcelo Tabarelli (UNICAMP), Matheus Barros da Silveira (UFC), Marcelo Tabarelli (UNICAMP), Pedro Henrique Alves de Queiroz (USP São Paulo), Rafael Malvezzi Zorzetto (UFF)
Relatório final aqui
Artigo resultante: Pólya urns on hypergraphs (ArXiv 2310.00159)
Considere três empresas, que denotamos por M, A and G. Cada empresa vende dois produtos: M vende SO e FB, A vende SO and SP, G vende FB e SP. Cada par de empresas compete no mercado em um produto. As empresas utilizam suas envergaduras e reputações para potencializar suas vendas, em ambos os produtos. Qual empresa vende mais produtos ao longo do tempo?
Uma maneira de modelar esse problema usa urnas de Pólya em grafos. Dado um grado conexo G, coloque uma urna em cada vértice. Duas urnas são vizinhas se seus vértices são vizinhos em G. Em tempos discretos, uma bola é adicionada a cada par de urnas, do seguinte modo: cada urna ganha a bola com probabilidade proporcional à sua quantidade de bolas no momento. A competição do parágrafo anterior pode ser descrita, em termos simples, por esse modelo: a competição das empresas nos produtos form um triângulo, onde os vértices são as empresas e as aresta são os produtos. Saber o comportamento das empresas ao longo do tempo representa entender o limite do vetor de probabilidade que representa as proporções de bolas nas urnas.
Em uma literatura recente, esse problema foi resolvido para qualquer grafo. Porém, permanece em aberto para hipergrafos. Esse contexto modela, por exemplo, um mercado em que cada empresa compete em mais de dois produtos. O objetivo do projeto é encontrar combinatórias em hipergrafos que possibilitam entender o comportamento limite das proporções de bolas nas urnas.
Há várias iniciativas de desenvolvimento de pesquisa para matemática/os em estágios bem iniciais de carreira. No Brasil, vários eventos voltados à iniciação à pesquisa para estudantes foram desenvolvidos no passado, com destaque para algumas.
No final dos anos 2000 foi realizado um programa de pesquisa entre estudantes brasileiros e americanos, com suporte da NSF via o programa IRES. Os sites que documentaram tal programa não se encontram mais no ar.