Lucas Real (ICMC - USP)
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Para a apreciação geral do minicurso, apenas é requerida certa familiaridade com demonstrações matemáticas. Para o entendimento de alguns resultados mais pontuais de Análise e Topologia Algébrica, porém, assumiremos propriedades elementares da topologia dos espaços Euclidianos.
A matemática com que a maioria das pessoas lidam em seu cotidiano diz respeito a objetos naturalmente finitos, e pouco recorre a ferramentas mais avançadas dessa ciência exata. Afinal, o Axioma da Escolha nunca precisará ser empregado para determinar um troco de supermercado, bem como o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser deixado de lado para estimar a área de figuras geométricas simples. Essa observação sugere, inclusive, que todo problema matemático ``concreto’’ pode ser resolvido sem o apelo a teorias demasiadamente abstratas.
Neste minicurso, porém, argumentaremos que tal olhar é limitado. Aliás, estudaremos uma coleção de resultados sobre matemática discreta que estão intrinsecamente relacionados com a noção (abstrata!) de infinito. Enquanto alguns deles sequer podem ser alcançados pelos Axiomas de Peano para os números naturais, por exemplo, outros são até mesmo equivalentes a resultados de Análise em espaços Euclidianos.
A abordagem proposta, inclusive, se dará por meio de duas frentes. A primeira delas recorre à própria formalização do conceito de infinito, introduzindo as ferramentas mais primitivas de uma área conhecida como Combinatória Infinita. A segunda frente, por sua vez, se concentra no estudo do infinito em sua natureza contínua, observando como certos resultados da Topologia dos espaços Euclidianos possuem análogos discretos.
[1] Kenneth Kunen, Set Theory, Studies in Logic, Volume 34, College Publications, London, 2011.
[2] Laurie Kirby e Jeff Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society, Volume 14, 1982, páginas 285–293.
[3] Henrik Petri e Mark Voorneveld, No bullying! A playful proof of Brouwer’s fixed-point theorem, Journal of Mathematical Economics, Volume 78, 2018, páginas 1–5.
[3] David Gale, The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem, The American Mathematical Monthly, Volume 86, 1979, páginas 818–827.
[4] Ryuji Maehara, The Jordan Curve Theorem via the Brouwer Fixed Point Theorem, The American Mathematical Monthly, Volume 91, 1984, páginas 641–643.