Durante a primeira semana do evento, serão ministrados minicursos pela/os supervisora/es, para revisão dos conceitos necessários e introdução aos problemas a serem abordados. Não é esperado nenhum conhecimento prévio na área específica do problema.
Os projetos confirmados até o momento são os seguintes.
Supervisão: Antonio Castelo Filho (ICMC - USP) e Lucas Martinelli Reia (ICMC - USP)
Curvas de nível e superfícies de nível são vistas em todos cursos de cálculo diferencial e integral. Desenhar, digamos na lousa, por vezes é tarefa simples, e fica mais divertida ainda com auxílio computacional. Quando falamos de curvas ou superfícies pensamos imediatamente em lugares geométricos de dimensão 1 e 2 imersos em espaços de dimensão 2 ou 3. E ao desenhá-las utilizando o computador por trás já atuam métodos numéricos além de códigos para plotar no computador.
Mas e desenhar superfícies de dimensão 4? Mais ainda, imagine que pretendemos aumentar a dimensão, isto é, encontrar o conjunto \(\cal{M} = F^{-1}(0)\) para uma aplicação \(F: \R^n \rightarrow \R^k\). No caso, quando \(n = 2\) e \(k = 1\) temos curvas de nível, quando \(n = 3\) e \(k = 1\) temos superfícies de nível. E como calculamos tais superfícies, ou aproximações para elas, com \(n\) e \(k\) elevados?
Alguns algoritmos conseguem produzir aproximações para tais superfícies com um custo computacional elevado em termos de tempo de processamento e de memória. O objetivo deste projeto é gerar aproximações de superfícies de alta dimensão definidas implicitamente, utilizando técnicas de cálculo, combinatória e análise numérica, evitando o armazenamento exponencial de memória, gerando um código para calcular estas aproximações.
Supervisão: Ana Paula Chaves (UFG) e Roberto Alvarenga (ICMC - USP)
Apesar de já conhecida na antiguidade por gregos e indianos, a sequência de Fibonacci é atribuída ao matemático italiano Leonardo de Pisa (ou Leonardo Fibonacci), quem a descreveu em 1202 no livro Liber Abaci. A sequência é totalmente determinada por considerar os dois primeiros termos por \(0\) e \(1\) e os subsequentes como a soma dos dois anteriores. Assim, se \((F_n)_n\) é a sequência de Fibonacci, então \(F_0 =0, F_1=1\) e \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.\)
Na natureza, os números da sequência de Fibonacci descrevem vários fenômenos interessantes. Por exemplo, o crescimento idealista da população de coelhos, a afinação de instrumentos musicais e proporções harmônicas nas artes visuais e arquitetura. Como todo objeto bem estudado na matemática, esta sequência admite diversas generalizações. Para as quais, várias equações Diofantinas (inclusive exponenciais) já foram estudadas e resolvidas, culminando inclusive com a resolução do Décimo Problema de Hilbert por Matiyasevich.
Neste projeto investigaremos algumas equações Diofantinas que tem como solução os números de Fibonacci e suas generalizações. Em particular, pretendemos explorar várias questões relacionadas à comportamento assintótico de tais soluções, tanto de um ponto de vista teórico/algébrico, como também sob uma ótica computacional.
Supervisão: Thaís Jordão (ICMC - USP) e Catarina Barbosa Machado (UFSCar)
A noção de \(\epsilon\)-entropia de Kolmogorov, introduzida por Andrei Nikolaevich Kolmogorov em 1959, é uma importante ferramenta teórica usada para estimar o erro probabilístico da natureza estatística de observações das quais um algoritmo empregado estaria aprendendo. Estimativas superiores para a \(\epsilon\)-entropia de Kolmogorov, também conhecida por números de cobertura (covering numbers), contribuem em áreas de pesquisa como a de aprendizado de máquinas baseado em kernels, caso dos processos Gaussianos, por exemplo.
Precisamente, dado \(\epsilon>0\), o número de cobertura \(C(B,\epsilon)\), associado a um subconjunto compacto \(B\) de um espaço métrico, é o número mínimo de bolas de raio \(\epsilon\) do espaço necessário para cobrir o subconjunto \(B\). Este projeto propõe a exploração da questão central e atual que envolve os números de cobertura e o comportamento assintótico deles, a saber, responder a questão de quando o chamado “limite assintótico” existe. Isso significa encontrar uma função real \(h\) tal que o seguinte limite exista \[ \lim_{\epsilon\to 0^+}\frac{C(B,\epsilon)}{h(\epsilon)}. \]
A resposta para esta “simples” questão, da existência do limite real acima está conectada a obtenção de estimativas ótimas/finas para para os números de cobertura. Nesta proposta, essa questão será investigada sobre espaços vetoriais com produto interno e a técnica envolvida inclui a resolução de problemas de otimização (busca por pontos críticos) de funções reais, que deverá ser acompanhada do uso de plataformas de inteligência computacional (WolframAlpha).
Supervisão: Milton Jara (IMPA) e Susana Frómeta Fernandez (UFRGS)
Consideremos o seguinte problema. Um professor de matemática quer fazer uma “simulação real” do passeio aleatório simples no quadro. Uma possibilidade é lançar uma moeda ao ar e usar o resultado para simular os passos do passeio aleatório. Na prática, este procedimento não é rápido o suficiente para ser praticado na sala de aula. Uma ideia diferente, é usar um baralho de cartas. De acordo com um famoso teorema de Beyer-Diaconis, sete embaralhadas são suficientes para embaralhar o baralho de 52 cartas. No baralho bem embaralhado, a probabilidade da primeira carta ser de cor vermelha é igual a 1/2. A cor da segunda carta é “quase” independente da cor da primeira carta, pelo que as cores das sucessivas cartas podem ser usadas como lançamentos de moeda, se a precisão desejada na nossa “simulação real” não é muito grande. A pergunta natural é: quantas cartas do baralho podemos usar para simular lançamentos de moeda com uma precisão dada? Será que esta “simulação real” é rápida o suficiente para ser usada na sala de aula?
O objetivo será formalizar de maneira matematicamente rigorosa estas questões, e em particular estudar os conceitos de “precisão” e “bem embaralhado”, assim como investigar possíveis generalizações, como por exemplo “e se também usamos o naipe e/ou o número?”