Verão ICMC 2025

Funções de uma variável complexa

Modalidade: Presencial
Professor: Daniel Smania
Duração: 06 de janeiro de 2025 a 14 de fevereiro de 2025.
Dias e horários: Segundas, terças, quintas e sextas, das 10:00 às 12:30.
Local: As aulas ocorreram na sala 4-003 do ICMC.

Público-alvo: Este curso tem como público alvo discentes regulares do nosso programa de pós-graduação em matemática.
Pode também ser feito como um curso de extensão por estudantes de graduação de dentro e fora da USP.
Alunos de pós-graduação da USP fora do ICMC também podem cursá-los como curso de pós, a depender das regras da unidade do estudante.

Programa:
O corpo dos números complexos: definição; operações e propriedades; topologia do plano complexo. Funções analíticas: séries
de Potências; derivação complexa e propriedades; ramos de funções inversas; equações de Cauchy-Riemann; Transformações
de Möbius. Integração complexa: Funções de Variação Limitada; integral de Riemann-Stieltjes; representação em séries de
funções analíticas, zeros de uma função analítica; índice de uma curva fechada; o Teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy;
domínios simplesmente conexos e a versão homotópica do Teorema de Cauchy; o Teorema da Aplicação Aberta; o Teorema de Goursat.
Singularidades isoladas de funções analíticas: zeros de funções analíticas; classificação; resíduos; o teorema do resíduo e aplicações; o princípio do argumento e o
teorema de Rouché; o teorema do máximo módulo e o princípio do máximo. O Teorema da Aplicação de Rieman: Caracterização
dos compactos do espaço das funções analíticas e do espaço das funções meromorfas.
Imagem de Funções analíticas: O Teorema de Picard.

Bibliografia:
1) J. B. Conway, Functions of the one complex variable, Springer-Verlag, 1986.
2) L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., 1966.
3) E. A. Grove, G. Ladas, Introduction to Complex Variables. Houghton Mifflin Co. 1974.
4) J. E. Marsden, Basic complex analysis, ~W.H. Freeman, 1973.
5) B. P. Palka, An introduction to complex function theory, Springer-Verlag, 1991.
6) N. Levinson, R. Redheffer, Complex Variables, Holden-Day, Inc, 1970.