Disciplinas e Minicursos

Ementa e bibliografia das disciplinas da
Escola de Verão 2014

1. Funções de uma variável complexa (de 06/01 até 21/02/2014)

    Docente: Prof. Ali Tahzibi – ICMC
   segunda feira: das 8:30 hs às 10:00 hs e das 10:30 hs às 12:00 hs
     terça e quinta feira: 14:00 hs às 15:30 hs e das 16:00 hs às 17:30 hs
     SALA 3-009

O corpo dos números complexos: Definição; operações e propriedades; topologia do plano complexo. Funções analíticas: séries de Potências; derivação complexa e propriedades; ramos de funções inversas; equações de Cauchy-Riemann; Transformações de Möbius. Integração complexa: Funções de Variação Limitada; integral de Riemann-Stieltjes; representação em séries de funções analíticas, zeros de uma função analítica; índice de uma curva fechada; o Teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy; domínios simplesmente conexos e a versão homotópica do Teorema de Cauchy; o Teorema da Aplicação Aberta; o Teorema de Goursat. Singularidades isoladas de funções analíticas: zeros de funções analíticas; classificação; resíduos; o teorema do resíduo e aplicações; o princípio do argumento e o teorema de Rouché; o teorema do máximo módulo e o princípio do máximo. O Teorema da Aplicação de Rieman: Caracterização dos compactos do espaço das funções analíticas e do espaço das funções meromorfas; Teorema da Aplicação de Riemann. Imagem de Funções analíticas: O Teorema de Picard (little).

Bibliografia:

1. J.B.CONWAY Functions of the one complex variable, Springer-Verlag, 1986.

2. L. V. AHLFORS, Complex Analysis, McGraw-Hill Booc Co. (1966)

3. E. A. GROVE; G. LADAS, Introduction to Complex VariablesHoughton Mifflin Co. 1974.

4. J. E. MARSDEN Basic complex analysis, W.H. Freeman, 1973.

5. B. P. PALKA An introduction to complex function theory, Springer-Verlag, 1991.

6. N.LEVINSON; R. REDHEFFER, Complex Variables, Holden-Day, Inc (1970).

2. Geometria Diferencial (de 06/01 até 24/01/2014)

Docente: Prof. Carlos Grossi – ICMC
segunda, quarta e sexta feira: das 8:30 hs às 10:00 hs e das 10:30 hs às 12:00 hs
SALA 3-010

Campos e formas em R^3. A derivada direcional de um campo: conexão e suas propriedades. Formas de conexão. Equações estruturais de Cartan. Superfícies em R^3. Campos e formas em superfícies. Equações estruturais revisitadas: curvaturas Gaussiana e média. Teorema egregium. Geodésicas. Transporte paralelo ao longo de geodésicas e aplicações simples em geometrias esférica e hiperbólica. Uma breve discussão do Teorema de Gauss-Bonnet (conforme o tempo permitir).

Bibliografia:

1. O’NEILL, B. Elementary differential geometry, revised 2nd edition, Academic Press, 2006.

2. IVEY, T. A., Landsberg, J. M., Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems, GTM Vol. 61, American Mathematical Society, 2003.

3. BACHMAN, D., A geometric approach to differential forms, Birkhäuser, 2006

4. DARLING, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge University Press, 1994.

3. EDO em dimensão dois (de 27/01 até 21/02/2014)

Docente: Profa. Regilene Delazari – ICMC
segunda, quarta e sexta feira: das 8:30 hs às 10:00 hs e das 10:30 hs às 12:00 hs
SALA 3-010

Campos de vetores, Equações diferenciais. Pontos fixos e existência de soluções de equações diferenciais, unicidade. Equações lineares em R^2, exponencial, fórmula de Liouville e classificação de pontos críticos (complexificação). Conjuntos limite, Poincaré Bendixon. Campos vetoriais no toro bi-dimensional (sem singularidade e órbitas densas) e na esfera bi-dimensional. Grau de transformações de círculo. Índice de pontos críticos

Bibliografia:

1. ARNOLD,VI. Ordinary Differential Equations, Springer Verlag (1984).

2. DOERING, CLAUS, LOPES, ARTUR, Equações Diferenciais Ordinárias, Coleção Matemática Universitária (2012).

3. HIRSCH, MORRIS; SMALE STEPHEN, Linear Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Pure and Applied Mathematics, University of California, Berkeley (1974).

4. Cálculo Avançado (de 06/01 até 21/02/2014)

    Docente: Prof. José Adonai Pereira Seixas – UFAL
segunda feira: 14:00 hs às 15:30 hs e das 16:00 hs às 17:30 hs
    terça e quinta feira: das 8:30 hs às 10:00 hs e das 10:30 hs às 12:00 hs
      SALA 3-009

Recordação do enunciado dos teoremas da função inversa e implícita para funções em R^n. Formas locais das imersões e submersões. Teorema do posto. Superfícies k-dimensionais (subvariedades) do R^n (definição via parametrizações). Teorema da imagem inversa do valor regular. Espaço tangente. Integração no Rn. Teorema de Fubini. Teorema de mudança de variáveis para integrais. Aplicações multilineares alternadas. Produto exterior. Pull-back. Formas diferenciais no Rn e em superfícies. Diferencial exterior. Pull-back. Orientação em superfícies. Integração de formas diferenciais em superfícies. Superfícies com bordo. Orientação induzida no bordo. Partições da unidade. Teorema de Stokes em variedades com bordo.

Bibliografia:

1. LIMA, E.L, Curso de Análise, IMPA, vol. 2 (Projeto Euclides). 1981.

2. RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 3a. ed. 1976.

3. SPIVAK, V, Calculus on Manifolds: A modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, Benjamin, 1965.